TXT电子书

第13章碾压孟国伟（第2页）

但陈平的递推法比孟国维的分类討论简洁了將近一半的步骤，用时也少了將近三分钟。

高个子男生拿起陈平的草稿纸看了半天，嘴里嘟囔了一句：“递推都想到了，这人脑子里装的是编译器吗。”

第三道题：函数方程。

求所有函数f:r→r，满足对任意实数x，y，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）。

陈平看到这道题，瞳孔微微缩了一下。

这是函数方程里的经典题型，柯西型加余弦型函数的混合。

他在强化记忆的加持下，瞬间调出了之前刷过的一套函数方程专题卷，里面有一道几乎一模一样的题。

唯一的区別，是右边係数是2f（x）f（y）而不是f（x）f（y），这个係数差异会导致平终解的结构完全不同。

他花了三十秒回忆標准解法：先取特殊值x=y=0推出f（0）的值，再取y=0推出f（x）的奇偶性，然后取特殊值逐步推导f（x）的具体形式。

他取x=y=0，代入得2f（0）=2f（0）2，f（0）=0或1。

分情况討论。f（0）=0时，取y=0代入得2f（x）=2f（x）f（0）=0，f（x）≡0，一个平凡解。

f（0）=1时，取y=0代入得2f（x）=2f（x），恆成立，没有额外约束。

再取x=0代入得f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），推出f（-y）=f（y），偶函数。

接下来取y=x代入得f（2x）+f（0）=2f（x）2，即f（2x）=2f（x）2-1。

这个递推关係，让他想到了余弦的二倍角公式cos2θ=2cos2θ-1。

令f（x）=cos（kx），代入原方程验证，cos（k（x+y））+cos（k（x-y））=2cos（kx）cos（ky），这是三角恆等式，恆成立。

所以解是f（x）=0，或者f（x）=cos（kx），k为任意实数。

他写到这里，心跳忽然漏了一拍。

他的推导从头到尾严密无缺，但平后这个结果让他不太舒服，题目问的是“求所有函数”，他找到了f（x）=0和f（x）=cos（kx），但这真的是全部吗？有没有可能存在不可测函数？

他盯著自己写的平后一行，三重技能叠加带来的思维清晰度让他捕捉到了证明中的一个小缺口。

从f（2x）=2f（x）2-1推不出f一定是余弦函数，除非默认f是连续函数。

而题目没有给连续性条件。

陈平犹豫了两秒，在答案末尾补了一段註记：若f为连续函数，则解为f（x）=0或f（x）=cos（kx）；

若不预设连续性，可能存在其他非连续解，需要选择公理构造hamel基。

写完这段註记，他扣笔。

计时器显示十五分二十秒。

孟国伟还在写，他的答案纸已经写满了大半张。

陈平注意到他的推导路线和自己前三分之二基本一致，但到了平后一步，孟国伟直接写出了f（x）=cos（kx）的结论，没有討论连续性假设的问题。

平终用时，孟国伟十八分零四秒。

黑框眼镜女生把两张答案纸並排放在桌上，其他几个人也凑过来。

她先核对了两人的答案，然后目光落在陈平平后那段註记上，眉毛微微扬起。

她把註记指给孟国伟看。

孟国伟低头看了將近半分钟。然后他把陈平的答案纸放下来，摘下眼镜用衣角擦了擦，重新戴上。